Higher Order variance and Gauss Jacobi Quadrature

In this report, we study in a detailed way higher order variances and quadrature Gauss Jacobi. Recall that the variance of order j measures the concentration of a probability close to j points x j,s with weight λ j,s which are determined by the parameters of the quadrature Gauss Jacobi. We shall study many example in which these measures specify adequately the distribution of probabilities. We shall also study their estimation and their asymptotic distributions under very wide assumptions. In particular we look what happens when the probabilities are a mixture of points with measures nonzero and of continuous densities. We will see that the Gauss Jacobi Quadrature can be used in order to detect these points of nonzero measures. We apply these results to the decomposition of Gaussian mixtures. Moreover, in the case of regression we can apply these results to estimate higher order regression. Summary : Dans ce rapport, on etudie de facon détaillée les variance d'ordre supérieur et la quadrature de Gauss Jacobi. On rappelle que la variance d'ordre j mesure la concentration d'une probabilité autour de j points x j,s avec des poids λ j,s qui sont déterminés par les paramêtres de la quadrature de Gauss Jacobi. Onétudiera de nombreux exemples pour détailler différents cas o` u ces mesures précisent suffisament bien la répartition des probabilités. Onétudiera aussi leur estimation et leurs lois asymptotiques sous des hypothèses très larges. On regarde en particulier ce qui se passe lorsque les probabilités sont un mélange de points de mesures non nulles et de densités continues. On verra que la Quadrature de Gauss Jacobi peut permettre de détecter ces points de mesures non nulles. On appliquera ces résultatsà la décomposition de mélanges gaussiens. De plus dans le cas de régression on peut appliquer ces résultatsà l'estimation de régression d'ordre supérieur.